Was (wer) ist Лапласа оператор - definition

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом ${\displaystyle \ \Delta }$. Функции ${\displaystyle F\ }$ он ставит в соответствие функцию

${\displaystyle \Delta F={\partial ^{2}F \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2}F \over \partial x_{2}^{2}}+\ldots +{\partial ^{2}F \over \partial x_{n}^{2}}}$

в n-мерном пространстве.

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: ${\displaystyle \Delta =\operatorname {div} \,\operatorname {grad} }$, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля ${\displaystyle \ \operatorname {grad} F}$ в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$, то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.

Оператор Лапласа для вектора ${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} }$:

${\displaystyle \Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf {k} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k} }$

Лапласиан вектора - тоже вектор.